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十二平均律（第2页）

和前面的“五度相生律”的7声音阶对比一下，可以发现原来的7个音都还在，只是多了5个，分别插在它们之间。用字母音名称呼原来的7个音符，分别是C、D、E、F、G、A、B，新的5个音符是C?、D?、F?、G?、A?（也可以写作D?、E?、G?、A?、B?）。12音阶分别叫作：C、C?、D、D?、E、F、F?、G、G?、A、A?、B。把相邻两个音符的波长互相除一下，就会发现它们之间的比例只有两种：243:256（就是原来的“半音”，也叫作“自然半音”），2048:2187（这被叫作“变化半音”）。

也就是说，这12个音符几乎可以说又构成了一个等比数列。它们之间的“距离”几乎是相等的。（当然，如果相邻两个音符之间的比例只有一种的话，就是严格的“距离”相等了。）原来的7声音阶中，C-D、D-E、F-G、G-A、A-B之间都相隔一个“全音”，如今则认为它们之间相隔了两个“半音”。这也就是“全”、“半”这种叫法的根据。

西汉著名学者京房（77BC-47BC）发现（23）^53和（12）^31也很接近，这个计算量对常人而言是难以想象的，但是他算出来了，于是提出了一个53音阶的新音律。要知道古人并没有计算器，计算这样的高次幂问题对他们来说是相当麻烦的。

当然，京房的新律并没有流行开，原因就是53个音阶太麻烦。但是这种努力是值得肯定的，也说明12声音阶也不完美，也确实需要改进。

“五度相生律”的12声音阶中的主要问题是，相邻音符的波长比例有两种（自然半音和变化半音），而不是一种。而且两种半音彼此差距还不小。（2048:2187）（243:256）≈0。9865。好像差不多，但其实自然半音本身就是243:256≈0。9492了。

如果12声音阶是真正的等比数列的话，每个半音就应该是相等的，各个音阶就应该是“等距离”的。也就是说，真正的12声音阶可以把一个八度“等分”成12份。之所以这么强调“等分”、“等距离”，是因为在音乐的发展过程中，人们越来越觉得有“转调”的必要了。

所谓转调，其实就是用不同的音高来唱同一个旋律。比方说，如果某一个人的音域是C～高音C（也就是以前的do～高音do），乐器为了给他伴奏，得在C～高音C之内弹奏旋律；如果另一个人的音域是D～高音D（也就是以前的re～高音re），乐器得在D～高音D之内弹奏旋律。可是“五度相生律”的12声音阶根本不是等比数列，人们会觉得C～高音C之内的旋律和D～高音D之内的旋律不一样。特别是如果旋律涉及到比较多的半音，这种不和谐就会很明显。可以说，如果钢琴是按“五度相生律”来决定各键的音高，那么只要旋律中涉及到许多黑键，弹出来的效果就会一塌糊涂。

这种问题在弦乐器上比较好解决，因为弦乐器的音高是靠手指的按压来决定的。演奏者可以根据不同的音域、旋律的要求，有意地不在规定的指位上按弦，而是偏移一点按弦，就能解决问题。可是键盘乐器（比如钢琴、管风琴、羽管键琴等）的音高是固定的，无法临时调整。

所以在西方中世纪的音乐理论里，就规定了有些调、有些音是不能用的，有些旋律是不能写的。而有些教堂的管风琴，为了应付可能出现的各种情况，就预先准备下许多额外的发音管。以至于有的管风琴的发音管有几百甚至上万根之多。这种音律规则上的缺陷，导致一方面作曲家觉得受到了限制，一方面演奏家也觉得演奏起来太麻烦。

问题的根源还是出在近似值上。“五度相生律”所依据的（23）^12毕竟和（12）^7并不完全相等。之所以会出现两种半音，就是这个近似值造成的。

对“五度相生律”12声音阶的进一步修改，东、西方也大致遵循了相似的路线。比如东晋的何承天（370AD－447AD），他的做法是把（23）^12和（12）^7之间的差距分成12份，累加地分散到12个音阶上，造成一个等比数列。可惜这只是一种修补工作，并没有从根本上解决问题。西方的做法也是把（23）^12和（12）^7之间的差距分散到其它音符上。但是为了保证主音C和属音G的2:3的比例关系（这个“纯五度”是一个音阶中最重要的和谐，即使是在12声音阶中也是如此），这种分散注定不是平均的，最好的结果也是12音中至少有一个“不在调上”。如果把差距全部分散到12个音阶上的话，就必须破坏C和G之间的“纯五度”，以及C和F之间的3:4比例（术语是“纯四度”）。这样一来，虽然方便了转调，但代价就是音阶再也没有以前好听了。因为一个八度之内最和谐的两个关系――纯五度和纯四度――都被破坏了。

一直到文艺复兴之前，西方音乐界通行的律法叫“平均音调律”（Meantonetemperament），就是在保证纯五度和纯四度尽量不受影响的前提下，把（23）^12和（12）^7之间的差距尽量分配到12个音上去。这只是一种无可奈何的妥协，大家其实都在等待新的音律出现。

终于还是有人想到了彻底的解决办法：直接就把1:2这个比例关系开12次方，也就是说，真正的半音比例应该是12√2。如果12音阶中第一个音的波长是λ，那么第二个音的波长就是（12）^（112）λ（根式可以用分数指数幂来表示），第三个音就是（12）^（212）λ，第四个音是（12）^（312）λ，……，第十二个是（12）^（1112）λ，第十三个就是（12）^（1212）λ，就是λ2，正好是λ的八度。这是“转调”问题的完全解决。有了这个新的音律，从任何一个音弹出的旋律可以复制到任何一个其它的音高上，而对旋律不产生影响。西方巴洛克音乐中，复调音乐对于多重声部的偏爱，有了这个新音律之后，可以说不再有任何障碍了。后来的古典主义音乐，也间接地受益匪浅。可以说没有这个新的音律的话，后来古典主义者、浪漫主义者对于各种音乐调性的探索都是不可能的。

这种新的音律就叫“十二平均律”。首先发明它的是一位中国人，叫朱载堉（yù）。他是明朝的一位皇室后代，生于1536年，逝世于1611年。他用珠算开方的办法（珠算开12次方，难度可想而知），首次计算出了十二平均律的正确半音比例，其成就见于所著的《律学新书》一书。很可惜，他的发明，和中国古代其它一些伟大的发明一样，被淹没在历史的尘埃之中了，很少被后人所知。但是，这也充分体现了中国古人对于世界发展的伟大贡献。

西方人提出“十二平均律”，大约比朱载堉晚50年左右。不过很快就传播、流行开来了。主要原因是当时西方音乐界对于解决转调问题的迫切要求。当然，反对“十二平均律”的声音也不少。主要的反对依据就是“十二平均律”破坏了纯五度和纯四度。不过这种破坏程度并不十分明显。

波长计算

“十二平均律”的12声音阶的波长（近似值）分别是：

1。0000λ=λ1。000（标准音）

0。9439λ=λ1。059

0。8909λ=λ1。122

0。8409λ=λ1。189

0。7937λ=λ1。260

0。7492λ=λ1。335

0。7071λ=λ1。414

0。6674λ=λ1。498

0。6300λ=λ1。587

0。5946λ=λ1。682

0。5612λ=λ1。782

0。5297λ=λ1。888

注意，所有的半音都一样了，都是12√2，即1。059。以前的自然半音和变化半音的区别没有了。另外，原来“五度相生律”的12音阶中，C和G的比例是2:3（即纯五度），“十二平均律”的12音阶中，C和G的比例是0。6674，和纯五度所要求的2:3（0。6667）非常接近。原来“五度相生律”的12音阶中，C和F的比例是3:4（即纯四度），“十二平均律”的12音阶中，C和F的比例是0。7492，和纯四度所要求的3:4（0。7500）也非常接近。所以“十二平均律”基本上保留了“五度相生律”最重要的特性。又加上它解决了转调问题，所以后来“十二平均律”基本上取代了“五度相生律”的统治地位。钢琴就是按“十二平均律”来确定各键音高的。学生们学习的do、re、mi也是按“十二平均律”修改过的7声音阶。如果想听“五度相生律”或者“纯律”的do、re、mi，已经很不容易了。

将八度音等分为十二等分，其数学意义如下：

八度音指的是波长减半（即半波长）。因此在八度音中分为十二等分乃是分为十二个等比级数，其结果就是每个音的波长为前一个音的2开12次方分之一（12√2≈1。059463）。

理论上来说，所有乐器的音准只需要仪器来校准。但是实践证明，人感觉上的音阶会存在个体差异，所以乐器的调音师是不可被仪器替代的。

十二平均律（12-ToneEqualTemperament，12-TET）又称十二等程律，是将一个八度的音程等分成十二个半音的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相等。十二平均律是由中国明朝皇族世子朱载堉发明。

十二平均律是指八度的音程按波长比例平均分成十二等份，一等份为一个半音（小二度）。两等份为一个全音（大二度）。将一个八度分成12等份有着惊人的一些巧合，这是因为它的纯五度音程的两个音的波长比为（12）^（712）≈0。6674，与23≈0。6667非常接近。

十二平均律在交响乐队和键盘乐器（例如钢琴）中得到广泛使用。