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十二平均律（第1页）

十二平均律

简介

“十二平均律”的纯四度和大三度，两个音的波长比分别与3:4和4:5比较接近。也就是说，“十二平均律”的几个主要的和弦音符，都跟自然泛音序列中的几个音符相符合的，只有极小的差别，这为小号等按键吹奏乐器在乐队中使用提供了必要条件，因为这些乐器是靠自然泛音级（自然泛音序列，其波长是基音波长的整数分之一序列）来形成音阶的。半音是十二平均律组织中最小的音高距离，全音由两个半音组成。一个八度分成12份，半音1份，全音2份。

十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用，因为十二平均律能方便地进行移调。曲调由音阶组成，音阶由音组成。音具有绝对音高和相对音高。声音是机械波，而机械波的波长由弦长等因素决定，且成正比关系。不同的音具有不同的波长。人们选取一定波长的音来形成音乐体系所需要的音高。

十二平均律简而言之，就是把半根琴弦按照等比数列平均分成十二份。一根琴弦的长度设为1，可以表示为（12）^（012），第一点的位置是（12）^（112），第二点的位置是（12）^（212），依此类推，第n点的位置是（12）^（n12）。因为这样的一组音是等比关系，所以无论从哪个位置开始弹起旋律都是一样的。

十二平均律的半音，比五度相生律的半音大，比纯律小。因此，使用十二平均律奏和弦不纯，奏旋律导向性不够，所以在乐曲的演奏中，尤其在乐队多声部合奏的时候，实际上是多律并用的，根据实际情况，在演奏过程中，偏向哪一种律制，并不是一成不变的。

根据十二平均律所有半音都相等的特点，因此还产生了“等音”的概念。

钢琴上每相邻的两个琴键（黑白都算）的差别，音乐上即为半音。比如说C和?C相差半音，C和D相差全音（两个半音），以此类推。如果B再往上升半音，会发现这个音的波长刚好是C的一半，而在音乐上称为一个八度，这两个音听起来“很相似”。用小写的c来表示它，依次有?c，d……再往上走可以用c1……，c2……来表示，而往下走可以用大写的C1……，C2……来表示。

历史

据说十二平均律是在16世纪由明朝皇族世子朱载堉发明。由于波长与弦长之间存在正比关系，因此波长关系可以转化为弦的长短关系。所以即使在16世纪，那个西方物理学才刚刚起步，还没有发现机械波的时代，中国明朝皇族世子朱载堉就利用数学计算能力，发现了这一近似值规律，这也是一件十分伟大和令人赞叹的事。

明朝中叶，皇族世子朱载堉发明以珠算开方的办法，求得律制上的等比数列，具体说来就是：用发音体的长度计算音高，假定黄钟正律为1尺，求出低八度的音高弦长为2尺，然后将2开12次方得波长公比数1。059463094，该公比自乘12次即得十二律中各律音高，且黄钟正好还原，这在物理学上就刚好对应了波长的比例关系。朱载堉用这种方法第一次解决了十二律自由旋宫转调的千古难题。

在朱载堉发表十二平均律理论之后52年，PereMarinMersenne在（1636年）其所著《谐声通论》中发表相似的理论。

物理

波长和弦长

古人对于声现象的认识比较肤浅，根本不知道声音是机械波，也不可能存在现代的标准音的概念。但是由于在声现象中，弦长与物理上的波长挂钩，波长又与音调挂钩，因此古人实际上是利用物理上的弦长和波长的比例关系，来进行音律设计的，这一点充分体现了古人的智慧。

所有的波（包括机械波、电磁波、引力波等）都有三个最本质的特性：频率波长、振幅、相位。对于机械波（声波）来说，在相同声速下，机械波的波长决定了这个音的音调，机械波的振幅决定了这个音的大小（强度），而人耳对于相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑机械波的相位问题。

波长比例

由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一，加上波长和弦长的正比关系，所以这种现象古人早已熟悉。他们自然会想试试按其它的位置。数学上1:2是最简单的比例关系了，简单性仅次于它的就是1:3。如果按住弦的13点，其结果是弦发出了两个高一些的音。一个音的波长是原来的13（因为弦长变成了原来的13），另一个音是原来的23（因为弦长变成了原来的23）。这两个音彼此也是八度音程的关系（因为它们彼此的弦长比是2:1）。这样，在λ2-λ的范围内，出现了第一个重要的波长，即23λ，也就是五度关系。（那个λ3的波长正好处于下一个八度，即λ4-λ2中的同样位置。）

接着再试，数学上简单性仅次于1:3的是1:4，按弦的14点，又出现了两个音。一个音的波长是原来的14（因为弦长变成了原来的14），这和原来的音（术语叫“主音”）是两个八度音程的关系，可以不去管它。另一个音的波长是主音的34（因为弦长是原来的34）。34λ是一个重要的波长。同一根弦，在不同的情况下发出机械波，可以发出很多波长的声音。在听觉上，与主音λ最和谐的就是23λ和34λ（除了主音的各个八度之外）。

这个现象也被很多民族分别发现了。比如最早从数学上研究弦的长度问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前6世纪）。我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”。具体说来是取一段弦，“三分损一”，即均分弦为三段，舍一留二，便得到23λ。如果“三分益一”，即弦均分三段后再加一段，便得到34λ。

因为听觉上15λ、16λ与主音的和谐程度远不及23λ、34λ。古人于是换了一种方法。与主音λ最和谐的23λ已经找到了，他们转而找23λ的23λ，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了（23）^2λ即49λ。这已经低于了λ2的范围，进入了左边一个八度，但下一个八度中的音，在这一个八度中当然有与它等价的一个音，于是把49λ的波长加倍，便得到了89λ。

接着把这个过程循环一遍，找23的3次方，于是就有了827λ，这也在左边一个八度中，再次波长加倍，得到了1627λ。

最理想的情况是某一次循环之后，会得到主音的某一个八度，这样就算是“回到”了主音上，不用继续找下去了。可是（23）^n，只要n是自然数，其结果都不会是整数，更不用说是2的某次方。律学所有的麻烦就此开始。

数学

近似思想

回到计算不相等的问题，数学上不可能的事，只能从数学上想办法。古人的对策就是“取近似值”。他们注意到（23）^5≈0。1317，和（12）^3=0。1250很接近（乍一看并不接近，但取倒数后就比较接近了，前者是17。594，后者是18。000），于是决定这个音就是他们要找的最后一个音，比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。这样，从主音λ开始，只需按2:3比例寻找最和谐音”这个过程循环5次，得到了5个音，加上主音和34λ，一共是7个音。这就是为什么音律上要取do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。

这7个音符的波长，从长到短分别是λ、89λ、6481λ、34λ、23λ、1627λ、128243λ。如果这里的λ是do，那么89λ就是re、6481λ就是mi……，这7个波长组成了7声音阶。这7个音都有各自正式的名字，在西方音乐术语中，它们分别被叫做主音（tonic）、上主音（supertonic）、中音（mediant）、下属音（subdominant）、属音（dominant）、下中音（submediant）、导音（leadingtone）。其中和主音关系最密切的是第5个“属音”so和第4个“下属音”fa，原因前面已经说过了，因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。由于这个音律主要是从“属音”so即23λ推导出来的，而2:3这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”，所以这种音律叫做“五度相生律”。

西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯（所以西方把按2:3比例定音律的做法叫做Pythagoreantuning），东方是《管子》一书的作者（不一定是管仲本人）。我国历代的各种音律，大部分也都是从“三分损益律”发展出来的，也可以认为它们都是“五度相生律”。

仔细看上面“五度相生律”7声音阶的波长，可以发现它们彼此的关系很简单：do-re、re-mi、fa-so、so-la、la-si之间的波长比都是8:9，这个比例被称为全音（tone）；mi-fa、si-do之间的波长比都是243:256，这个比例被称为半音（semitone）。

“五度相生律”产生的7声音阶，自诞生之日起就不断被批评。原因之一就是它太复杂了。前面说过，如果按住弦的15点或者16点，得到的音已经和主音不怎么和谐了，居然出现了64:81和128:243这样的比例，于是有人开始对这7个音的波长做点调整，于是就出现了“纯律”（justintonation）。

“纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来，也就是说让各个音和主音的波长比尽量简单。“纯律”的发明人是古希腊学者塔壬同（今意大利南部的塔兰托城）的亚理斯托森努斯（AristoxenusofTarentum）。（东方似乎没有人独立提出“纯律”的概念。）此人是亚里士多德的学生，约生活在公元前3世纪。他的学说的重点就是要靠耳朵，而不是靠数学来主导音乐。他的书籍留下来的只有残篇，不过可以证实的是他提出了所谓“自然音阶”。

自然音阶也有7个音，但和“五度相生律”的7声音阶有不小差别。7个自然音阶的波长分别是：λ、89λ、45λ、34λ、23λ、35λ、815λ。确实简单多了，也确实好听多了。这么简单的比例，就是“纯律”。

可以看出“纯律”不光用到了2:3的比例，还用到了4:5的比例。新的7个波长中和原来不同的就是45λ、35（=45×34）λ、815（=45×23）λ。

虽然“纯律”的7声音阶比“五度相生律”的7声音阶要好听，数学上也简单，但它本身也有很大的问题。虽然各个音和主音的比例变简单了，但各音之间的关系变复杂了。原来“五度相生律”7声音阶之间只有“全音”和“半音”2种比例关系，如今出现了3种：8:9（被叫做“大全音”，majortone，就是原来的“全音”）、9:10（被叫做“小全音”，minortone）、15:16（新的“半音”）。各位把自然音阶的波长互相除一下就能得到这个结果。更进一步说，如果比较自然音阶中的re和fa，其波长比是27:32，这也不怎么简单，也不怎么好听。所以说“纯律”对“五度相生律”的修正是不彻底的。事实上，“纯律”远没有“五度相生律”流行。

对于“五度相生律”的另一种修正是从另一个方向展开的。取7个音符是因为数学上的近似，可这毕竟是近似值，而不是完全相等。在一个八度之内，这么小的差距也许没什么，但是如果乐器的音域跨越了好几个八度，那么这种近似就显得不怎么好了。于是人们开始寻找更好的近似值。

通过计算，古人发现（23）^12≈0。0077073，和（12）^7=0。0078125很接近（取倒数分别为1129。7和1128），于是他们把“五度相生律”中“按2:3比例寻找最和谐音”的循环过程重复12次，便认为已经到达了主音的第7个八度。再加上原来的主音和34λ，如今就有了12个音符。　注意，“规范”音阶不是7个音符了，而是12个音符。这种经过修改的“五度相生律”推出的12声音阶，其波长分别是：λ、20482187λ、89λ、1638419683λ、6481λ、34λ、512729λ、23λ、40966561λ、1627λ、3276859049λ、128243λ。